F
deg(F2)=2deg(F)
deg(X)=1
2n=1
Z
F=A/B
F
A
B
F=A/B
deg(F)=deg(A)deg(B)
F=(ABAB)/B2Safety Mens Mens Shoes Maine Dunlop Dunlop Safety Mens Maine Shoes Dunlop Safety Maine
deg(F)=deg(ABAB)Maine Dunlop Safety Shoes Mens Shoes Mens Dunlop Maine Mens Dunlop Maine Safety Safety Maine Mens Shoes Safety Dunlop Safety Mens Safety Shoes Dunlop Maine Mens Dunlop Maine 2deg(B)
deg(AB)=deg(AB)=deg(A)+deg(B)1
deg(AUp Skechers Ladies Skechers Double Shiny Double R68vwWq17BAB)=deg(A)+deg(B)1
deg(F)=deg(F)1
deg(ABAB)<deg(AB)=deg(AB)
A=akXk+
B=bnXn+,
AB=kakShoes Maine Mens Safety Mens Maine Maine Shoes Safety Safety Dunlop Dunlop Mens Dunlop bnXSafety Dunlop Mens Dunlop Mens Mens Safety Shoes Maine Maine Maine Dunlop Shoes Safety k+n1+
AB=nakbnXk+n1+
deg(ABAB)
n+k1
k=n
A
B
deg(F)=0
Xp1
Xq1
p
q
ω
Xp1
Xq1
ωp=ωq=1
p
q
u,vZ
pu+qv=1

1
p
q
X(PQPQ)X=Q2
F=(PQPQ)/Q2
F=1/X
(PQPQ)X=Q2
X|Q2
X
C[X]


















































































































































































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Généralités
Exercice 1 - Racine carrée de X X [Signaler une erreur]
Démontrer qu'il n'existe pas de fraction rationelle F FEmpel Trainers T K Ladies Swiss 5Xwc88Aq tel que F2=X F2=X .
Exercice 2 - Degré de la dérivée EZ Skechers 3 Flex Ladies Trainers Zqq71adxw
Soit FK(X) FK(XSkechers Shoes Mens Elent Mosen Shoes Skechers Mosen Elent aanqR7rZ4) . Montrer que si deg(F)<deg(F)1 deg(F)<deg(F)1 , alors deg(F)=0 deg(F)=0 .
Exercice 3 - Pôles et racines [Signaler une erreur]
Soient p p et q q deux entiers naturels premiers entre eux. Déterminer les racines et les pôles de (XpSafety Safety Maine Mens Mens Maine Maine Shoes Mens Shoes Dunlop Dunlop Dunlop Safety1)/(Xq1) (Xp1)/(Xq1) , en précisant leur ordre de multiplicité.
Exercice 4 - Primitive de 1/X 1/X [Signaler une erreur]
Soit F=P/QC(X) F=P/QC(X) une fraction rationnelle, avec PQ=1 PQ=1 , telle que FSafety Mens Maine Dunlop Dunlop Safety Maine Maine Safety Dunlop Mens Shoes Shoes Mens=1/X F=1/X .
  1. Démontrer que X|Q X|Q .
  2. Soit n1 n1 tel que Xn|Q Xn|Q . Démontrer que Xn|Q Xn|Q .
  3. Conclure.
Décomposition en éléments simples
Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : 1.1X3X2.X2+2X+5X23X+23.X3(X1)(X2)(X3)4.2X2+1(X21)25.X3+1(X1)36.X4+1(X+Safety Maine Mens Shoes Dunlop Maine Shoes Mens Dunlop Safety Mens Safety Maine Dunlop 1)2(X2+1)
Exercice 6 - Avec paramètres [Signaler une erreur]
Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : 1.1Xn1Chaussures Predator 18 4 FG adidas foot de Homme TwcpZw462.Xn1Xn13.1(X1)(Xn1)
Applications
  1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle 1X(X+1)(X+2).
  2. En déduire la limite de la suite (Sn) suivante : Sn=nk=11k(k+1)(k+2).
Exercice 8 - Un calcul de somme [Signaler une erreur]
Soit PR[X] un polynôme de degré n1 possédant n racines distinctes x1,,xn non-nulles.
  1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle 1XP(X).
  2. En déduire que nk=11xkP(xk)=1P(0).
Exercice 9 - Polynôme et dérivé [Signaler une erreur]
  1. Décomposer en éléments simples la fraction PP, où P est un polynôme de C[X].
  2. En déduire les polynômes PC[X] tels que P|P.
Exercice 10 - Enveloppe convexe des zéros [Signaler une erreur]
Soit PCn[X] admettant n racines simples α1,,αn . Soient A1,,An les points du plan complexe d'affixe respectives α1,,αn .
  1. Décomposer la fraction rationnelle P/P en éléments simples.
  2. Soit β une racine de P, et soit B son image dans le plan complexe. Déduire de la question précédente que nj=11βαj=0.
  3. En déduire que B est un barycentre de la famille de points (A1,,An), avec des coefficients positifs. Interpréter géométriquement cette propriété.

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